Треугольник: полная шпаргалка для ЕГЭ 2025

🔎 Что такое треугольник?

Треугольник — это многоугольник, состоящий из трёх сторон и трёх углов.

✅ Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:

α+β+γ=180∘α+β+γ=180∘

✅ Треугольник обозначается по его вершинам:

$$△ABC$$

🟢 Виды треугольников

Треугольники классифицируют по длине сторон и по величине углов.

1. По длине сторон:

2. По величине углов:

🔥 Свойства треугольников

✅ 1. Неравенство треугольника

Сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны:

$$a+b>c,b+c>a,a+c>b$$

✅ 2. Свойства углов в треугольнике

• Внешний угол равен сумме двух внутренних несмежных углов:

αвнешн=β+γαвнешн​=β+γ

✅ 3. Свойства равнобедренного треугольника

• Углы при основании равны:

$$\beta =\gamma$$

• Высота, биссектриса и медиана, проведённые к основанию, совпадают.

✅ 4. Свойства равностороннего треугольника

• Все углы равны по 60°:

α=β=γ=60∘α=β=γ=60∘

• Все медианы, высоты и биссектрисы равны между собой.

📐 Основные элементы треугольника

• Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону.
• Биссектриса — отрезок, делящий угол пополам.
• Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
• Серединный перпендикуляр — проходит через середину стороны и перпендикулярен к ней.

🏆 Формулы площади треугольника

1. Через основание и высоту

S=12ahS=21​ah

✅ Пример:
Если основание $a=8$, высота $h=5$:

S=12⋅8⋅5=20S=21​⋅8⋅5=20

2. Через две стороны и угол между ними

S=12absin⁡γS=21​absinγ

✅ Пример:
Если $a=6$, $b=8$, γ=30∘γ=30∘:

S=12⋅6⋅8⋅sin⁡30∘=12⋅6⋅8⋅0,5=12S=21​⋅6⋅8⋅sin30∘=21​⋅6⋅8⋅0,5=12

3. По формуле Герона

Если известны все три стороны:

S=p(p−a)(p−b)(p−c)S=p(p−a)(p−b)(p−c)​

где

p=a+b+c2p=2a+b+c​

✅ Пример:
Если $a=7$, $b=8$, $c=9$:

p=7+8+92=12p=27+8+9​=12S=12(12−7)(12−8)(12−9)=12⋅5⋅4⋅3=720≈26,83S=12(12−7)(12−8)(12−9)​=12⋅5⋅4⋅3​=720​≈26,83

4. Площадь прямоугольного треугольника

S=12abS=21​ab

📏 Теоремы о треугольниках

🔶 1. Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике:

c2=a2+b2c2=a2+b2

✅ Пример:
Если $a=3$, $b=4$:

c2=32+42=9+16=25  ⟹  c=5c2=32+42=9+16=25⟹c=5

🔶 2. Теорема синусов

В любом треугольнике:

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2Rsinαa​=sinβb​=sinγc​=2R

где $R$ — радиус описанной окружности.

🔶 3. Теорема косинусов

В любом треугольнике:

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γc2=a2+b2−2ab⋅cosγ

🔶 4. Теорема о медиане

Длина медианы $m$ треугольника равна:

m=122a2+2b2−c2m=21​2a2+2b2−c2​

🎯 Как решать задачи на треугольники (алгоритм)

1. Нарисуй треугольник.
2. Укажи все известные элементы (стороны, углы).
3. Подумай, какие формулы можно использовать.
4. Если есть прямой угол — используй теорему Пифагора.
5. Если известны углы — используй теорему синусов или косинусов.
6. Проверь полученные результаты — соответствуют ли они условиям задачи.

Подготовка к ЕГЭ 2025 по математике

Да, математика — это про большой объём информации, поэтому она многих пугает и отталкивает. Но, если её преподносить без воды и понятным языком, то всё становится не так уж и страшно

В моменте ты начинаешь понимать стереометрию, алгебру, планиметрию и даже параметры — это ли не счастье

➡ На курсе к каждой теме у нас есть видео и сразу домашки. Видео небольшие, потому что в них всё только самое важное. И стараюсь в них говорить простым языком и рассказывать на бытовых примерах

➡ Видосик посмотрели и сразу тут же домашечку потыкали, чтобы закрепить знания — вот оно, идеальное комбо для увеличения баллов.