Производная

Производной функции y=f(x) в данной точке х0 называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю (очень сложное и непонятное определение…):

f’(x0)=lim(f(x0)/x)  x —> 0

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Производные некоторых функций

1. (x^n)’=n*x^(n-1)
2. (lnx)’=1/x
3. (e^x)’=e^x
4. (a^x)’=a^x*lna
5. (logx)’=1/(x*lna)
6. (sinx)’=cosx
7. (cosx)’=-sinx
8. (tgx)’=1/(cosx)^2
9. (ctgx)’=-1/(sinx)^2
10. (arcsinx)’=1/(1-x^2)
11. (arccosx)’=-1/(1-x^2)
12. (arctgx)’=1/(1+x^2)

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)

2. Производная произведения

(f(x)·g(x))′=f′(x)·g(x)-f(x)·g(x)′/g2(x)

3. Производная частного

(f(x)/g(x))′=f′(x)·g(x)+f(x)·g(x)′

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

f(g(x))′=f′(g(x))·g′(x)

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и её координата изменяется в зависимости от времени по закону x(t), то мгновенная скорость данной точки равна производной функции. v(t)=x′(t)

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде y=kx+b, где k – угловой коэффициент прямой. Коэффициент k равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси Ох.

k=tgα

Производная функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту k касательной к графику в данной точке:

f′(x0)=k

Следовательно, можем составить общее равенство:

f′(x0)=k=tgα

На рисунке касательная к функции f(x) возрастает, следовательно, коэффициент k>0. Так как k>0, то f′(x0)=tgα>0. Угол α между касательной и положительным направлением Ох острый.

На рисунке касательная к функции f(x) убывает, следовательно, коэффициент k<0, следовательно, f′(x0)=tgα<0. Угол α между касательной и положительным направлением оси Ох тупой.

На рисунке касательная к функции f(x) параллельна оси Ох, следовательно, коэффициент k=0, следовательно, f′(x0)=tgα=0. Точка x0, в которой f′(x0)=0, называется экстремумом.

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если f′(x)>0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.

Если f′(x)<0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке.