Как решать неравенства в 16 задании в ЕГЭ 2027 по профильной математике

При решении неравенств ошибку легко допустить в одном знаке: забыть перевернуть его при делении на отрицательное число или включить в ответ недопустимую точку. Для проверки решения проследите каждый переход и отдельно исследуйте границы промежутков. Разберём четыре типа неравенств: линейные, квадратные, показательные и логарифмические. Эти примеры помогут повторить алгебру и подготовиться к заданию с развёрнутым ответом на ЕГЭ 2027 по профильной математике.

Какое задание ЕГЭ 2027 проверяет решение неравенств

В проекте демоверсии ЕГЭ 2027 по профильной математике неравенствам отведено задание 16. За обоснованное решение с верным ответом предусмотрено 2 первичных балла. Поэтому в работе показывают преобразования, учитывают ограничения и записывают множество решений.

В статье разобраны учебные примеры из карточек. На этих примерах отработаем отдельные приёмы: раскрытие скобок, определение знаков выражения, сравнение степеней и логарифмов. В экзаменационной задаче эти приёмы могут сочетаться с дробями, заменой переменной и методом интервалов.

Три правила перед началом решения

К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число или выражение, определённое на рассматриваемой области. Направление знака при этом сохраняется. Отсюда правило переноса: слагаемое переходит в другую часть с противоположным знаком.

При умножении или делении обеих частей на положительное число знак неравенства сохраняется. При умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный. Например, из −2x > 6 следует x < −3. Делить на ноль нельзя.

Если множитель или делитель содержит переменную, сначала определите его знак и проверьте, не равен ли он нулю. Умножение неравенства на выражение неизвестного знака без разбора случаев может изменить множество решений.

Линейные неравенства: перенос слагаемых и деление

Линейное неравенство с одной переменной приводят к виду kx + b > 0 или к аналогичной записи со знаком <, ≥ либо ≤. После упрощения нужно выделить x и проверить знак коэффициента k.

Решим пример:

5(4x − 3) ≥ 15 − 5x.

Шаг 1. Раскрываем скобки

Умножаем на 5 каждое слагаемое в скобках:

20x − 15 ≥ 15 − 5x.

Шаг 2. Собираем слагаемые с x слева, числа — справа

Прибавляем к обеим частям 5x и 15:

20x + 5x ≥ 15 + 15;

25x ≥ 30.

Шаг 3. Делим на коэффициент при x

Число 25 положительно, поэтому знак ≥ сохраняется:

x ≥ 30 / 25;

x ≥ 6 / 5;

x ≥ 1,2.

Шаг 4. Записываем ответ

Число 1,2 входит в множество решений: при подстановке обе части равны 9. На числовой прямой отмечаем закрашенную точку 1,2 и луч вправо.

Ответ: x ∈ [1,2; +∞).

Около бесконечности всегда ставят круглую скобку. Символ +∞ не обозначает число, которое можно включить в промежуток.

Если после упрощения коэффициент при x оказался равен нулю, оцените оставшееся числовое неравенство. Например, 0x ≥ 0 верно при любом действительном x, а 0x > 3 не имеет решений.

Квадратные неравенства: корни и знаки параболы

В квадратном неравенстве после переноса всех слагаемых в одну часть появляется выражение ax² + bx + c, где a ≠ 0. Чтобы выбрать промежутки, определяют, когда этот трёхчлен положителен, отрицателен или равен нулю.

Решим пример:

5 − 4x ≥ x².

Шаг 1. Переносим слагаемые в одну часть

Вычитаем x² из обеих частей:

−x² − 4x + 5 ≥ 0.

Умножаем обе части на −1. Знак неравенства меняется:

x² + 4x − 5 ≤ 0.

Шаг 2. Находим корни квадратного трёхчлена

Решаем уравнение:

x² + 4x − 5 = 0.

Дискриминант равен:

D = b² − 4ac = 4² − 4 · 1 · (−5) = 36.

Получаем два корня:

x₁ = (−4 − 6) / 2 = −5;

x₂ = (−4 + 6) / 2 = 1.

Шаг 3. Определяем знаки выражения

Коэффициент при x² положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Между корнями график расположен ниже оси Ox, а вне промежутка между корнями — выше неё.

Значит, x² + 4x − 5 отрицательно при −5 < x < 1 и равно нулю в точках −5 и 1. По условию требуется значение меньше или равное нулю, поэтому включаем обе границы.

Ответ: x ∈ [−5; 1].

Для проверки возьмём x = 0. В исходном неравенстве получаем 5 ≥ 0 — верно. При x = 2 получаем −3 ≥ 4 — неверно. Проверка согласуется с ответом, но не заменяет определение знаков на всех промежутках.

Если дискриминант равен нулю или отрицателен

При D = 0 парабола касается оси Ox в одной точке. Например, (x − 2)² ≤ 0 выполняется только при x = 2, а (x − 2)² < 0 не имеет решений.

При D < 0 действительных корней нет. Знак трёхчлена на всей числовой прямой совпадает со знаком коэффициента a. Например, x² + 1 > 0 верно при любом действительном x.

Показательные неравенства: приводим степени к одному основанию

В показательном неравенстве переменная находится в показателе степени. Если обе части удалось представить как степени одного основания a, сравните показатели с учётом монотонности функции:

• при a > 1 функция возрастает, поэтому знак при переходе к показателям сохраняется;
• при 0 < a < 1 функция убывает, поэтому знак меняется на противоположный.

Для показательной функции основание положительно и не равно 1.

Решим пример:

3^{2x − 3} − 9^5x > 0.

Шаг 1. Переносим вторую степень вправо

3^{2x − 3} > 9^5x.

Шаг 2. Приводим степени к основанию 3

Поскольку 9 = 3², получаем:

9^5x = (3²)^5x = 3^10x.

Неравенство принимает вид:

3^{2x − 3} > 3^10x.

Шаг 3. Сравниваем показатели

Основание 3 больше 1. Функция y = 3^t возрастает, поэтому знак сохраняется:

2x − 3 > 10x;

−8x > 3.

Теперь делим обе части на −8. На этом шаге знак меняется, поскольку делитель отрицателен:

x < −3 / 8.

Ответ: x ∈ (−∞; −3 / 8).

На этих шагах знак проверяем по разным правилам: сначала учитываем возрастание показательной функции, затем — деление на отрицательное число. Проверяйте эти переходы отдельно.

Что меняется при основании между 0 и 1

Рассмотрим (1 / 2)^x > (1 / 2)³. Функция с основанием 1 / 2 убывает: большему показателю соответствует меньшее значение степени. Поэтому после сравнения показателей получаем x < 3.

Правило «убрать одинаковые основания и сохранить знак» работает только при основании больше 1.

Логарифмические неравенства: начинаем с ОДЗ

Логарифм log_a b существует при a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Ограничения на выражения с переменной образуют область допустимых значений — ОДЗ. Числа вне этой области не могут быть решениями исходного неравенства.

Решим пример:

log₃(2x + 3) − log₉ 144 < 0.

Шаг 1. Находим область допустимых значений

Аргумент первого логарифма должен быть положительным:

2x + 3 > 0;

x > −1,5.

Основания 3 и 9 положительны и не равны 1, а число 144 положительно. Дополнительных ограничений здесь нет.

Шаг 2. Переносим числовой логарифм вправо

log₃(2x + 3) < log₉ 144.

Шаг 3. Приводим логарифмы к одному основанию

По формуле перехода к новому основанию:

log₉ 144 = log₃ 144 / log₃ 9 = (1 / 2)log₃ 144 = log₃ 12.

Последнее равенство верно, потому что 144 = 12². Получаем:

log₃(2x + 3) < log₃ 12.

Шаг 4. Сравниваем аргументы

Основание 3 больше 1, поэтому логарифмическая функция возрастает. На ОДЗ переходим к аргументам с сохранением знака:

2x + 3 < 12;

2x < 9;

x < 4,5.

Шаг 5. Пересекаем результат с ОДЗ

Оба условия должны выполняться одновременно:

x > −1,5 и x < 4,5.

Ответ: x ∈ (−1,5; 4,5).

Левая граница исключена: при x = −1,5 аргумент логарифма равен нулю. Правая граница тоже исключена: при x = 4,5 разность логарифмов равна нулю, а по условию должна быть меньше нуля.

При основании между 0 и 1 логарифмическая функция убывает. Например, log_0,5(x + 1) > log_0,5 3 на ОДЗ x > −1 равносильно x + 1 < 3. После пересечения условий получаем x ∈ (−1; 2).

Как записывать промежутки в ответе

Квадратная скобка означает, что граничное число входит в ответ. Круглая показывает, что граница исключена. Для рассмотренных примеров получаем:

Нестрогий знак ≥ или ≤ не отменяет ОДЗ. Например, ноль знаменателя нельзя включать в ответ даже при нестрогом неравенстве. Рядом с −∞ и +∞ всегда пишут круглые скобки.

Разбор задания ЕГЭ 2027: какие ошибки проверять

Ошибка при раскрытии скобок. Множитель перед скобками относится к каждому слагаемому. В выражении 5(4x − 3) второе слагаемое равно −15, а не −3.

Потерянный знак при переносе. Записывайте промежуточную строку, если переносите несколько слагаемых. В линейном примере прибавление 5x к обеим частям даёт слева 25x, а справа убирает −5x.

Деление на отрицательное число без смены знака. Проверяйте коэффициент непосредственно перед делением. Из −8x > 3 следует x < −3 / 8.

Сравнение степеней или логарифмов с разными основаниями. Сначала приведите выражения к одному основанию либо примените другой обоснованный метод. После этого учитывайте возрастание или убывание функции.

Потеря ОДЗ. Сохраните ограничения отдельной строкой и используйте при записи ответа. В логарифмическом примере условие x < 4,5 без ограничения x > −1,5 даёт лишние значения.

Подмена решения несколькими подстановками. Проверка чисел помогает заметить ошибку, но не доказывает ответ для бесконечного множества значений. Обоснование должно объяснять, почему подходят все указанные промежутки и не подходят остальные.

Как строить подготовку к ЕГЭ 2027 по профильной математике

Начните с линейных и квадратных неравенств: отработайте перенос слагаемых, деление и определение знаков. Затем переходите к степеням и логарифмам. Решайте примеры с основаниями больше 1 и между 0 и 1, чтобы объяснять смену знака через свойства функции.

После отдельных типов собирайте смешанную подборку. В каждом решении подписывайте причину перехода: «делим на отрицательное число», «функция возрастает», «учитываем ОДЗ». Далее добавляйте дробно-рациональные неравенства, метод интервалов и замену переменной — эти приёмы понадобятся для экзаменационного уровня.

Возвращайтесь к ошибкам после перерыва и решайте похожий пример без подсказки. Если неверно выбраны скобки, проверьте обе границы подстановкой в исходное выражение. Если потерян знак, найдите конкретную строку, где преобразование перестало быть равносильным.

Подготовка к ЕГЭ 2027 по профильной математике в Вебиуме

Продолжить подготовку к ЕГЭ 2027 по профильной математике можно на курсе Вебиума с Эйджеем Гауссом. В программу входят онлайн-занятия и видеоуроки, домашние задания и пробники; в подготовке помогает наставник. После урока закрепляйте теорию в домашнем задании, а непонятные шаги в решении разбирайте с наставником. Посмотрите программу курса подготовки к ЕГЭ 2027 и выберите нагрузку с учётом своего уровня и времени на занятия.