Горизонтальный бросок и бросок под углом к горизонту — темы кинематики, которые стоит разобрать при подготовке к ЕГЭ 2027 по физике. В таких задачах находят время полёта, дальность, высоту подъёма или скорость тела. Решение строится на двух уравнениях: по горизонтали тело движется равномерно, а по вертикали — с постоянным ускорением.
Разберём формулы с условиями применения и три учебные задачи. Объясним, почему при наклонном броске в верхней точке скорость не равна нулю, когда дальность максимальна при угле 45° и как учитывать высоту, с которой бросили тело.
Рассматриваем тело как материальную точку. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, ускорение свободного падения g считаем постоянным. После броска на тело действует только сила тяжести, поэтому ускорение направлено вертикально вниз в течение полёта.
Ось Ox направим горизонтально вправо, ось Oy — вертикально вверх. Уровню земли соответствует y = 0. Начальная координата x равна нулю, а высоту броска обозначим h0. Угол α отсчитываем от горизонтали: при броске вверх он положительный.
Начальную скорость v0 раскладываем на две проекции:
v0x = v0 cos α;
v0y = v0 sin α.
Горизонтальная проекция ускорения равна нулю, вертикальная равна −g. Отсюда получаем уравнения координат и проекций скорости:
Время t в этих уравнениях одно и то же. Если по движению вдоль Oy нашли момент падения, подставьте найденное время в уравнение x: получите горизонтальную дальность полёта.
Модуль скорости находят по теореме Пифагора:
v = √(vx2 + vy2).
Проекция vy при падении отрицательна, потому что тело движется против оси Oy. Модуль скорости отрицательным быть не может.
При горизонтальном броске угол α равен нулю. В начальный момент vx = v0, а vy = 0. По мере падения горизонтальная проекция скорости сохраняется, а модуль вертикальной проекции растёт.
Уравнения движения принимают вид:
x = v0t; y = h0 − gt2/2.
В момент приземления y = 0. Обозначим полное время полёта буквой T:
h0 − gT2/2 = 0.
T = √(2h0/g).
Время падения зависит от высоты и ускорения свободного падения. Горизонтальная начальная скорость в формулу не входит. Если два тела одновременно бросить горизонтально с одной высоты, оба тела достигнут земли одновременно — при отсутствии сопротивления воздуха.
За время T тело сместится вдоль Ox на расстояние L:
L = v0T = v0√(2h0/g).
Если при той же высоте увеличить начальную скорость вдвое, дальность тоже увеличится вдвое. Чтобы удвоить дальность за счёт высоты, увеличьте высоту броска в четыре раза.
Дальность L — расстояние по горизонтали от точки броска до точки приземления. Дальность не равна пути, который тело проходит по кривой траектории.
К моменту приземления vx = v0, vy = −gT. Подставим эти проекции в формулу модуля скорости:
v = √(v02 + g2T2) = √(v02 + 2gh0).
Нельзя складывать v0 и gT: горизонтальная и вертикальная составляющие скорости направлены перпендикулярно.
Пусть тело бросили вверх под углом от 0° до 90°. На подъёме вертикальная проекция скорости уменьшается. В верхней точке она становится равной нулю:
v0 sin α − gtпод = 0.
tпод = v0 sin α / g.
Подставим время подъёма в уравнение y. Получим высоту H, на которую тело поднялось относительно точки броска:
H = v02 sin2 α / (2g).
Если высота броска над землёй равна h0, максимальная высота над землёй равна h0 + H. При чтении условия различайте подъём относительно точки броска и высоту над землёй.
В верхней точке горизонтальная проекция скорости сохраняется, поэтому:
vверх = v0 cos α.
При наклонном броске тело в верхней точке продолжает двигаться горизонтально. Скорость обращается в ноль только при вертикальном броске вверх. Ускорение в обоих случаях остаётся равным g и направлено вниз.
Если тело приземляется на той же высоте, с которой его бросили, время спуска равно времени подъёма. Тогда полное время полёта:
T = 2v0 sin α / g.
Умножим время на горизонтальную проекцию скорости и используем равенство 2 sin α cos α = sin 2α:
L = v02 sin 2α / g.
На исходной высоте модуль скорости снова равен v0. Направление скорости изменилось: горизонтальная проекция прежняя, а вертикальная сменила знак.
При заданной начальной скорости дальность зависит от sin 2α. Наибольшее значение синуса равно единице, поэтому максимальная дальность достигается при α = 45°:
Lмакс = v02/g.
Это правило действует при одинаковой высоте броска и приземления, без сопротивления воздуха. Для броска с обрыва угол максимальной дальности нельзя автоматически считать равным 45°.
При тех же условиях углы 30° и 60° дают одинаковую дальность: sin 60° = sin 120°. Но при угле 60° тело поднимается выше и дольше остаётся в воздухе.
Во втором столбце рассматриваем горизонтальный бросок с высоты h0. В третьем — бросок вверх под углом α с возвращением на исходную высоту. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
| Величина | Горизонтальный бросок | Бросок под углом |
|---|---|---|
| Горизонтальная проекция скорости | vx = v0 | vx = v0 cos α |
| Время полёта | T = √(2h0/g) | T = 2v0 sin α / g |
| Дальность полёта | L = v0√(2h0/g) | L = v02 sin 2α / g |
| Подъём над точкой броска | H = 0 | H = v02 sin2 α / (2g) |
| Модуль скорости при приземлении | v = √(v02 + 2gh0) | v = v0 |
Из уравнения x = v0 cos α · t выразим время и подставим его в уравнение вертикальной координаты:
y = h0 + x tg α − gx2 / (2v02 cos2 α).
Координата y зависит от x квадратично, поэтому траектория — парабола. Для горизонтального броска формула упрощается:
y = h0 − gx2 / (2v02).
Эти выражения применяют, когда горизонтальная проекция скорости не равна нулю. При вертикальном броске тело движется по прямой, а делить на cos 90° нельзя.
Рассмотрим учебный пример. Тело бросили горизонтально с высоты 20 м со скоростью 15 м/с. Найдите время полёта, дальность и модуль скорости перед приземлением. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 10 м/с2.
Шаг 1. Находим время падения.
T = √(2h0/g) = √(2 · 20 / 10) = 2 с.
Шаг 2. Вычисляем дальность.
L = v0T = 15 · 2 = 30 м.
Шаг 3. Определяем проекции скорости перед приземлением.
vx = 15 м/с; vy = −10 · 2 = −20 м/с.
Шаг 4. Находим модуль скорости.
v = √(152 + 202) = √625 = 25 м/с.
Ответ: 2 с; 30 м; 25 м/с.
Тело бросили с поверхности земли со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Найдите время полёта, максимальную высоту и дальность. Тело приземляется на исходном уровне. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 10 м/с2.
Шаг 1. Раскладываем начальную скорость.
v0x = 20 cos 30° = 10√3 м/с.
v0y = 20 sin 30° = 10 м/с.
Шаг 2. Находим время подъёма и полное время полёта.
tпод = 10 / 10 = 1 с; T = 2 · 1 = 2 с.
Шаг 3. Вычисляем высоту.
H = v0y2 / (2g) = 102 / (2 · 10) = 5 м.
Шаг 4. Находим дальность.
L = v0xT = 10√3 · 2 = 20√3 ≈ 34,6 м.
Ответ: 2 с; 5 м; 20√3 м, или примерно 34,6 м.
В верхней точке модуль скорости равен 10√3 м/с. При возвращении на землю он снова составит 20 м/с.
Если точка приземления ниже точки броска, время полёта больше удвоенного времени подъёма. Найдите его из уравнения вертикального движения, подставив y = 0:
h0 + v0 sin α · T − gT2/2 = 0.
При h0 > 0 положительный корень этого уравнения равен:
T = (v0 sin α + √(v02 sin2 α + 2gh0)) / g.
После этого дальность рассчитывают по формуле L = v0 cos α · T.
Сохраним скорость 20 м/с и угол 30° из предыдущей задачи, но поднимем точку броска на 15 м над землёй. При g = 10 м/с2 получим:
15 + 10T − 5T2 = 0.
Разделим уравнение на −5:
T2 − 2T − 3 = 0.
Корни: T = 3 с и T = −1 с. Отрицательный корень не подходит: время отсчитываем с момента броска. Значит, тело упадёт через 3 с.
Дальность полёта:
L = 10√3 · 3 = 30√3 ≈ 52 м.
Тело поднимется на 5 м относительно точки броска. Максимальная высота над землёй составит 15 + 5 = 20 м.
Ответ: время полёта — 3 с; дальность — около 52 м; максимальная высота над землёй — 20 м.
Подъём по-прежнему занимает 1 с, а спуск до земли — 2 с. Удваивать время подъёма в этой задаче нельзя.
Если тело бросили ниже горизонтали, угол α отрицательный и начальная проекция v0y < 0. Уравнения координат и скорости остаются теми же. Тело сразу опускается: участка подъёма после броска нет.
Формальная подстановка отрицательного угла в tпод = v0 sin α / g даст отрицательное время. Оно относится к продолжению математической траектории назад и не описывает движение тела до броска.
При подготовке к ЕГЭ 2027 по физике решайте задачи с разными начальными условиями. После горизонтального броска разберите бросок вверх, затем измените высоту приземления. Такая практика помогает выбирать формулы по условию и замечать, когда сокращённое решение не подходит.
Закрепить кинематику и продолжить подготовку к ЕГЭ 2027 по физике можно на курсе в Вебиуме со Снежей Планк. В программу входят онлайн-занятия, видеоуроки, домашние задания и пробные экзамены. Наставник проверяет домашнюю работу, даёт обратную связь и отвечает на вопросы. Приходите на курс, чтобы разбирать физику с преподавателем, практиковаться в решении задач и исправлять ошибки по ходу подготовки.
Авторизуйтесь, чтобы оставить комментарий.