Во второй части ЕГЭ по физике недостаточно подставить числа в формулу. Выберите систему тел, разделите движение на этапы и объясните, почему на каждом этапе применим закон сохранения импульса или энергии. При столкновении сохранение импульса не означает, что механическая энергия останется прежней. Во время дальнейшего движения условия часто становятся другими.
Эта методичка для подготовки к ЕГЭ 2027 по физике содержит теорию и четыре подробных разбора задач по механике. Дополнительный пример с ядерной реакцией показывает распределение энергии между частицами с равными по модулю импульсами. Пять разобранных примеров — учебные задачи из исходного материала.
По проекту демоверсии ЕГЭ 2027 задание № 26 оценивается максимум в 4 первичных балла. Один балл предусмотрен за обоснование применимости законов, ещё три — за решение. Запишите исходные уравнения, пояснения к новым обозначениям, необходимые преобразования и ответ.
Обоснование связано с конкретной физической ситуацией. Запись «применим закон сохранения импульса» не объясняет, почему импульс сохраняется. Укажите систему тел, внешние силы и промежуток времени. Если сохраняется только проекция импульса, назовите ось и покажите, почему проекция внешней силы на неё равна нулю.
В механических задачах ниже выбираем связанную с Землёй инерциальную систему отсчёта. Используем g = 10 м/с². Вращение тел не рассматриваем; малые тела описываем моделью материальной точки, а поступательное движение бруска — движением центра масс.
Импульс тела равен произведению массы на скорость:
p⃗ = mv⃗.
Это векторная величина: направление импульса совпадает с направлением скорости. Импульс измеряют в кг·м/с.
Импульс системы — векторная сумма импульсов входящих в неё тел:
P⃗ = p⃗₁ + p⃗₂ + … + p⃗ₙ.
Если сложить уравнения второго закона Ньютона для этих тел, внутренние силы попарно сократятся по третьему закону Ньютона. Поэтому изменение суммарного импульса определяется внешними силами. При постоянной равнодействующей:
ΔP⃗ = F⃗внеш · Δt.
Если равнодействующая меняется, в формулу подставляют среднее векторное значение за выбранное время. Произведение силы на время называют импульсом силы.
Внутренние силы меняют импульсы отдельных тел, но не суммарный импульс системы. Например, при столкновении двух шаров на гладком горизонтальном столе скорости меняются, но суммарный импульс остаётся прежним.
Внешние силы отсутствуют или компенсируются. При нулевой равнодействующей внешних сил на протяжении движения суммарный импульс постоянен. Так рассматривают столкновение тел на гладкой горизонтальной поверхности: силы тяжести и реакции опоры компенсируются, трения нет.
Импульсом внешних сил можно пренебречь за время взаимодействия. При разрыве снаряда сила тяжести продолжает действовать. За время разрыва вызванное силой тяжести изменение импульса пренебрежимо мало по сравнению с импульсами разлетающихся осколков. Закон применяют непосредственно перед разрывом и сразу после него. На последующий полёт это обоснование не распространяется.
Сохраняется проекция импульса на выбранную ось. Если сумма проекций внешних сил на ось x равна нулю, то Pₓ остаётся постоянным, даже когда другие проекции меняются. Например, при отскоке от гладкой неподвижной горизонтальной поверхности горизонтальная составляющая импульса шарика сохраняется, а вертикальная меняется.
Само по себе короткое время удара не доказывает сохранение импульса. При отскоке от стены импульс шарика меняется из-за внешней силы со стороны стены. Поэтому сначала определяют систему и внешние воздействия, затем выбирают закон.
При движении вдоль одной прямой выберите положительное направление оси. Скорости тел, движущихся в эту сторону, дают положительные проекции; скорости встречных тел — отрицательные.
Для двух тел закон сохранения импульса в проекции на ось x записывается так:
m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ = m₁u₁ₓ + m₂u₂ₓ.
Буквой v обозначены скорости до взаимодействия, буквой u — после него. Знаки проекций входят в уравнение вместе с числами. Модуль скорости отрицательным быть не может.
Кинетическая энергия материальной точки зависит от массы и квадрата скорости:
Eк = mv² / 2.
Для поступательного движения тела используют ту же формулу. Потенциальная энергия определяется взаимодействием тел. В однородном поле тяжести Eп = mgh, а для пружины, подчиняющейся закону Гука, Eп = kx² / 2. Здесь h — высота относительно выбранного нулевого уровня, k — жёсткость, x — деформация пружины.
Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной:
E = Eк + Eп.
Для системы тел складывают кинетические энергии и добавляют энергию рассматриваемых взаимодействий. Одно и то же взаимодействие нельзя учитывать дважды. Например, энергия одной пружины входит в сумму один раз.
Теорема о кинетической энергии связывает изменение энергии движения с суммарной работой сил:
ΔEк = Aпот + Aнеп.
Индексы «пот» и «неп» обозначают потенциальные и непотенциальные силы. Работа потенциальных сил равна убыли потенциальной энергии: Aпот = −ΔEп. Подставим это выражение и перенесём изменение потенциальной энергии влево:
ΔEк + ΔEп = Aнеп.
Следовательно:
E₂ − E₁ = Aнеп.
Это закон изменения механической энергии. При нулевой работе непотенциальных сил получаем закон сохранения механической энергии:
Eк₁ + Eп₁ = Eк₂ + Eп₂.
Индексы 1 и 2 обозначают начальное и конечное состояния выбранного этапа.
Шарик на натянутой нерастяжимой нити движется по дуге окружности вокруг неподвижной точки подвеса. Сила натяжения направлена вдоль нити, а скорость — по касательной. Эти направления перпендикулярны, поэтому работа натяжения равна нулю.
Если сопротивлением воздуха пренебрегают, при таком движении сохраняется механическая энергия системы «шарик — Земля». Присутствие силы натяжения само по себе этому не мешает.
При пробивании шарика пулей условия другие: часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию при деформации и нагревании. Равенство механических энергий до и после пробития здесь неприменимо.
При скольжении по неподвижной горизонтальной поверхности сила трения направлена против перемещения. Для постоянной силы трения работа отрицательна:
Aтр = −Fтрs = −μNs.
Когда вертикального ускорения нет и другие вертикальные силы отсутствуют, N = mg. Тогда Aтр = −μmgs. Символом μ обозначен коэффициент трения скольжения, s — пройденный путь.
Для бруска, который тормозит на горизонтальной поверхности, потенциальная энергия не меняется. Поэтому записываем ΔEк = Aтр. Не добавляйте ещё один минус, если отрицательный знак уже включён в выражение работы.
Перед вычислениями отметьте события, после которых меняются взаимодействия: разрыв тела, удар, выход пули, прекращение контакта с пружиной. Для каждого промежутка выберите систему и составьте отдельное уравнение.
| Этап | Что проверить | Возможный способ решения |
|---|---|---|
| Короткий удар или разрыв | Мал ли импульс внешних сил | Закон сохранения импульса |
| Взаимодействие при вертикальных внешних силах | Равна ли нулю горизонтальная проекция внешней силы | Сохранение горизонтальной проекции импульса |
| Подъём после удара без сопротивления | Совершает ли натяжение нити работу | Закон сохранения механической энергии |
| Скольжение с трением | Каковы направление и работа силы трения | Закон изменения энергии |
Скорость в конце одного этапа становится начальной для следующего. Чтобы не перепутать состояния, обозначайте скорость сразу после удара отдельной буквой. Скорость при падении на землю или после торможения — другая величина.
Условие. Снаряд выпустили вертикально вверх со скоростью v₀ = 500 м/с. В верхней точке снаряд разорвался на два осколка. Первый достиг земли со скоростью 1000 м/с, второй — через 100 с после разрыва. Осколки упали у точки выстрела; движение считаем вертикальным. Найдите отношение масс m₁ / m₂. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
До разрыва и при дальнейшем полёте каждого осколка действует только сила тяжести. На этих участках сохраняется механическая энергия; движение по вертикали описывают формулы равноускоренного движения.
Для самого разрыва рассматриваем систему из двух осколков. За короткое время импульсом силы тяжести пренебрегаем, поэтому суммарный импульс сохраняется. Механическая энергия при разрыве возрастает за счёт внутренней энергии снаряда: приравнивать значения механической энергии до и после разрыва нельзя.
В верхней точке скорость снаряда до разрыва равна нулю. Отсчитываем высоту от точки выстрела и записываем:
mv₀² / 2 = mgh.
h = v₀² / (2g) = 500² / 20 = 12 500 м.
Направим ось y вверх. Обозначим проекцию начальной скорости второго осколка через u₂. Через t = 100 с координата второго осколка равна нулю:
0 = h + u₂t − gt² / 2.
u₂ = gt / 2 − h / t = 500 − 125 = 375 м/с.
Положительный результат означает, что сразу после разрыва второй осколок двигался вверх.
Пусть u₁ — модуль этой скорости, а V₁ = 1000 м/с — скорость перед падением на землю. Закон сохранения энергии для полёта первого осколка:
m₁u₁² / 2 + m₁gh = m₁V₁² / 2.
u₁ = √(V₁² − 2gh) = √(1000² − 250 000) = 500√3 ≈ 866 м/с.
До разрыва суммарный импульс равен нулю. Второй осколок полетел вверх, значит, первый полетел вниз.
В проекции на вертикальную ось:
0 = −m₁u₁ + m₂u₂.
m₁ / m₂ = u₂ / u₁ = 375 / (500√3) ≈ 0,433.
Ответ: m₁ / m₂ ≈ 0,43.
Проверим ответ. Скорость первого осколка больше, а масса меньше: это согласуется с равенством модулей импульсов после разрыва.
Условие. Шар массой M = 1 кг висит на нити длиной l = 0,9 м. Шар отклонили на угол α = 60° к вертикали и отпустили без начальной скорости. В нижней точке навстречу шару летит пуля массой m = 0,01 кг со скоростью v₁ = 300 м/с. После пробития пуля вылетает в прежнем направлении со скоростью v₂ = 200 м/с. Шар продолжает движение в прежнюю сторону. Найдите угол β, на который шар отклонится до остановки.
Масса шара не меняется, размер пренебрежимо мал по сравнению с длиной нити. Нить считаем невесомой и нерастяжимой, точку подвеса — неподвижной, сопротивлением воздуха пренебрегаем. Пробитие происходит за короткое время вблизи нижней точки; вращение шара не учитываем.
На участках движения шара до и после пробития механическая энергия системы «шар — Земля» сохраняется. Сила натяжения перпендикулярна скорости и работы не совершает.
При пробитии рассматриваем систему «пуля — шар». Внешние силы — натяжение нити и силы тяжести, действующие на пулю и шар. В нижней точке перечисленные силы вертикальны, поэтому сохраняется горизонтальная проекция импульса. На этом этапе сохранение механической энергии не используем.
Высота начального положения над нижней точкой:
h₁ = l(1 − cos α) = 0,9 · (1 − 0,5) = 0,45 м.
Из равенства Mgh₁ = Mu₁² / 2 получаем:
u₁ = √(2gh₁) = √(2 · 10 · 0,45) = 3 м/с.
Выберем положительное направление по движению шара. Пуля летит навстречу шару, поэтому проекции скорости пули отрицательны:
Mu₁ − mv₁ = Mu₂ − mv₂.
u₂ = u₁ − m(v₁ − v₂) / M.
u₂ = 3 − 0,01 · (300 − 200) / 1 = 2 м/с.
Результат положителен: шар сохранил направление движения, как сказано в условии. Использовать массу M + m нельзя, поскольку пуля вылетела из шара.
В верхней точке шар останавливается. Кинетическая энергия шара после пробития переходит в потенциальную энергию при подъёме:
Mu₂² / 2 = Mgl(1 − cos β).
cos β = 1 − u₂² / (2gl) = 1 − 4 / 18 = 7 / 9.
β = arccos(7 / 9) ≈ 38,94°.
Ответ: β ≈ 39°.
Проверим ответ. Скорость шара в нижней точке уменьшилась с 3 до 2 м/с. Поэтому последующий угол отклонения меньше первоначальных 60°.
Условие. Два шарика массами m₁ и m₂ висят на вертикальных нитях на одной высоте. Между ними удерживают сжатую лёгкую пружину. После освобождения пружина расталкивает шарики и падает. Нити отклоняются в противоположные стороны на одинаковый максимальный угол α. Найдите отношение длин l₁ / l₂, если m₂ / m₁ = 1,5.
Размеры шариков и сжатие пружины намного меньше длин нитей. Рассматриваем короткое расталкивание, за которое изменением высоты шариков и отклонением нитей пренебрегаем. Нити невесомы и нерастяжимы, точки подвеса неподвижны. Сопротивление воздуха не учитываем.
На этапе расталкивания включаем пружину в систему вместе с шариками. Массу пружины и отклонение нитей за время расталкивания считаем пренебрежимо малыми. В этом приближении импульс пружины и горизонтальный импульс внешних сил не учитываем.
После прекращения контакта с пружиной каждый шарик поднимается по дуге. На этом этапе сохраняется механическая энергия системы «шарик — Земля»: сила тяжести потенциальна, а работа натяжения равна нулю.
До расталкивания оба шарика покоятся. После расталкивания шарики движутся в противоположные стороны с равными модулями импульсов:
m₁v₁ = m₂v₂.
v₁ / v₂ = m₂ / m₁ = 1,5.
При отклонении нити на угол α шарик поднимается на высоту h = l(1 − cos α). Для каждого шарика:
m₁v₁² / 2 = m₁gl₁(1 − cos α),
m₂v₂² / 2 = m₂gl₂(1 − cos α).
Сокращаем массы и делим первое уравнение на второе:
v₁² / v₂² = l₁ / l₂.
l₁ / l₂ = (v₁ / v₂)² = (m₂ / m₁)² = 1,5² = 2,25.
Ответ: нить первого шарика длиннее второй в 2,25 раза.
Проверим ответ. Первый шарик легче второго: скорость первого в 1,5 раза выше, а высота подъёма — в 2,25 раза. При равных углах отклонения отношение высот совпадает с отношением длин нитей. Жёсткость и сжатие пружины для расчёта не потребовались.
Условие. Пуля массой m летит горизонтально со скоростью v₀ = 135 м/с и пробивает неподвижный брусок массой M. После выхода скорость пули равна v₀ / 3, направление не меняется. Брусок скользит по горизонтальному льду с коэффициентом трения μ = 0,15. За путь L = 6 м скорость бруска уменьшается на 30% по сравнению со скоростью сразу после пробития. Найдите M / m.
Брусок движется поступательно. Время пролёта пули через него считаем настолько малым, что горизонтальным импульсом силы трения за этот промежуток можно пренебречь.
При пробитии сохраняется горизонтальная проекция импульса системы «пуля — брусок» в принятом приближении. Силы тяжести и реакция опоры вертикальны, а импульс трения за время пробития мал.
После выхода пули рассматриваем торможение бруска силой трения. На этом этапе механическая энергия не сохраняется. Работа силы тяжести и реакции опоры равна нулю при горизонтальном перемещении. Изменение кинетической энергии определяется работой трения.
Обозначим скорость бруска сразу после пробития через u. Закон сохранения импульса:
mv₀ = m(v₀ / 3) + Mu.
Mu = (2 / 3)mv₀, поэтому M / m = 2v₀ / (3u) = 90 / u.
После уменьшения на 30% скорость бруска равна 0,7u. Работа трения отрицательна:
Aтр = −μMgL.
По теореме о кинетической энергии:
M(0,7u)² / 2 − Mu² / 2 = −μMgL.
После сокращения массы и переноса слагаемых:
u²(1 − 0,7²) = 2μgL.
u = √[2 · 0,15 · 10 · 6 / 0,51] ≈ 5,94 м/с.
M / m = 90 / 5,94 ≈ 15,15.
Ответ: масса бруска примерно в 15 раз больше массы пули.
Проверим ответ. Скорость уменьшилась до 70% начальной, а кинетическая энергия — до 49%. На работу против трения приходится потеря 51% начальной кинетической энергии бруска. Подставлять в энергетическое уравнение потерю 30% было бы ошибкой.
Этот пример тренирует связь импульса и кинетической энергии и дополняет разбор механических задач задания № 26.
Условие. В реакции ²₁H + ³₂He → ¹₁H + ⁴₂He выделяется Q = 18,3 МэВ. До реакции суммарный импульс частиц равен нулю, а начальной кинетической энергией пренебрегают. Массу ядра гелия принимают равной четырём массам протона. Найдите кинетическую энергию протона.
Рассматриваем изолированную систему частиц в лабораторной инерциальной системе отсчёта. Энергия реакции переходит в кинетическую энергию продуктов. Для расчёта используем нерелятивистское приближение Eк = p² / (2m).
Начальный суммарный импульс равен нулю, значит:
p⃗пр + p⃗He = 0.
Частицы разлетаются в противоположные стороны с равными модулями импульсов. Обозначим этот модуль через p.
Eпр = p² / (2mпр), а EHe = p² / (2mHe).
При mHe = 4mпр получаем Eпр / EHe = 4. При равных по модулю импульсах кинетическая энергия обратно пропорциональна массе частицы.
Eпр + EHe = Q.
Поскольку Eпр = 4EHe, то EHe = Q / 5, а Eпр = 4Q / 5.
Eпр = 4 · 18,3 / 5 = 14,64 МэВ.
Ответ: кинетическая энергия протона равна 14,64 МэВ.
Число 3,66 МэВ относится к ядру гелия. Здесь сохраняется полная энергия с учётом энергии покоя: суммарная кинетическая энергия продуктов возрастает за счёт энергии реакции.
Один закон на всё движение. В задачах с ударом, разрывом или пробитием выделяйте отдельные этапы. Для короткого взаимодействия подходит сохранение импульса при выполнении его условий; для последующего движения выбор зависит от действующих сил и их работы.
Отсутствие внешних сил без проверки. Сила тяжести не исчезает при взрыве, а трение — при попадании пули в брусок. В обосновании объясняют, почему импульсом этих сил можно пренебречь за выбранное время.
Подмена проекции полным импульсом. Если внешняя сила вертикальна, это обосновывает сохранение горизонтальной проекции. Для вертикальной составляющей нужен отдельный анализ.
Положительная работа тормозящей силы трения. При скольжении по неподвижной поверхности работа трения отрицательна. При записи через модуль работы используйте обозначение |Aтр| и согласуйте знак с уравнением изменения энергии.
Смешение скоростей разных моментов. Скорость осколка после разрыва и перед ударом о землю различается. Скорость бруска сразу после пробития отличается от скорости после торможения. Подписывайте состояния рядом с обозначениями.
Раннее округление. Сохраняйте точные выражения до последней подстановки. Например, для угла отклонения шара используйте cos β = 7 / 9, а не округлённое значение 0,78.
Ответ для другого тела. После расчёта перечитайте вопрос. В задаче с ядерной реакцией энергии протона и ядра гелия различаются в четыре раза.
Начните с рисунка: покажите выбранные оси, направления скоростей и силы, которые нужны для обоснования. Разделите движение на этапы и укажите систему тел для каждого. Если условие требует рисунок, добавьте схему в решение.
Далее объясните применимость законов. Для импульса проверьте внешние силы и время взаимодействия. Для энергии назовите силы, совершающие работу. Не утверждайте, что натяжение нити или реакция опоры не работают при любых условиях: это зависит от направления перемещения и движения опоры.
Запишите уравнения в буквенном виде, расшифруйте новые обозначения и покажите преобразования. После подстановки проверьте единицы, знаки и физический смысл результата. В ответе второй части укажите искомую величину и единицу измерения, если величина не безразмерна.
При подготовке к ЕГЭ 2027 по физике решайте смешанные подборки: столкновения, движение на нити, разлёт тел и торможение. После каждой задачи объясняйте выбор закона по условиям, а затем сверяйте расчёт. Так тренируется навык, который нужен во второй части: выбрать физическую модель, составить уравнения и получить ответ.
Авторизуйтесь, чтобы оставить комментарий.