Прогрессия

Арифметическая прогрессия

-> Последовательность, в которой каждый следующий член можно найти, прибавив к предыдущему одно и то же число 𝑑, называется арифметической прогрессией.

-> Если последовательность (𝑎𝑛 ) является арифметической прогрессией, то для любого натурального значения 𝑛 справедлива зависимость 𝑎𝑛+1 =𝑎𝑛 +𝑑.

-> Число 𝑑 называется разностью арифметической прогрессии.

-> Если известен первый член арифметической прогрессии 𝑎1 и разность 𝑑, то возможно вычислить любой член арифметической прогрессии: 

𝑎2 = 𝑎1+𝑑;

𝑎3= 𝑎2+𝑑 = 𝑎1 +2𝑑;

𝑎4 = 𝑎3 +𝑑 = 𝑎1+3𝑑

и т. д.

Пример:

-> 𝑛-ый член арифметической прогрессии можно получить, если к первому члену прогрессии добавить (𝑛−1) разностей, т. е., 𝑎𝑛=𝑎1+𝑑(𝑛−1), где 𝑛 — порядковый номер члена прогрессии, 𝑎1— первый член прогрессии, 𝑑 — разность.

Это равенство называется общей формулой арифметической прогрессии.

Её используют, чтобы вычислить 𝑛-ый член арифметической прогрессии (например, десятый, сотый и др.), если известны первый член последовательности и разность.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии.

Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти, используя формулу: 𝑆𝑛= (𝑎1+𝑎𝑛)⋅𝑛 / 2, где 𝑛 — число членов последовательности. 

Геометрическая прогрессия

-> Последовательность (𝑏), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число 𝑞, называется геометрической прогрессией.

-> Если последовательность (𝑏𝑛) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения𝑛справедлива зависимость: 𝑏𝑛+1=𝑏𝑛⋅𝑞.

-> Число 𝑞 называется знаменателем геометрической прогрессии.

-> Если в геометрической прогрессии (𝑏𝑛) известен первый член 𝑏1 и знаменатель 𝑞, то возможно найти любой член прогрессии.

𝑏2 = 𝑏1⋅𝑞;

𝑏3 = 𝑏2⋅𝑞 = 𝑏1⋅𝑞⋅𝑞 = 𝑏1⋅𝑞^2;

𝑏4 = 𝑏1⋅𝑞^3

и т. д.

-> Общий член геометрической прогрессии 𝑏𝑛  можно вычислить, используя формулу: 𝑏𝑛 =𝑏1⋅𝑞𝑛-1, где 𝑛— порядковый номер члена прогрессии, 𝑏1 — первый член последовательности, 𝑞— знаменатель.

Сумма первых 𝑛 членов геометрической прогрессии

Сумму первых 𝑛 членов геометрической прогрессии 𝑆𝑛 можно найти, если вычислить её члены 𝑏1, 𝑏2…𝑏𝑛 и затем их значения сложить.

1-я формула: 𝑆𝑛=𝑏𝑛𝑞−𝑏1 / 𝑞−1

𝑏1 — первый член геометрической прогрессии,

𝑏𝑛 —𝑛-ый член геометрической прогрессии, 

𝑞— знаменатель,

𝑛— количество членов последовательности (порядковый номер). 

2-я формула: 𝑆𝑛 =𝑏1(𝑞𝑛−1) / 𝑞−1

Пример оформления: