Параметры с единственным решением на отрезке

Нередко встречаются задания, где в условии присутствует фраза «…имеет единственное решение на отрезке…»

Например: 

Найди все значения а, при которых уравнение 

(2х + а + 1 + tgx)2 = (2x + a — 1 — tgх)2

имеет единственное решение на отрезке [-π|2; π|2].

Идеальное решение параметра

(2х + а + 1 + tgx)2 = (2x + a — 1 — tgх)2

(2х + а + 1 + tgx)2 — (2x + a — 1 — tgх)2 = 0

(2х + а + 1 + tgx — 2x — a + 1 + tgх)(2х + а + 1 + tgx + 2x + a — 1 — tgх) = 0

2+2tgx=0

4+2a=0

-π|2 ⩽x⩽π|2

cosx=\0

tg=-1

x=-a|2

-π|2 ⩽x⩽π|2

cosx=\0

x1=-π|4

x2=-a|2

-π|2<x<π|2

x1=-π|4 является корнем при всех а.

x2=-a|2 при а, которые удовлетворяют условию: 

-π|2 <x<π|2

-π|2 <-a|2<π|2

—π<а<π

⇒ x2=-a|2 является корнем при —π<а<π

х1 и х2 совпадают, когда х1=х2 

⇒ -π|4=-a|2

при а=π|2 х1 и х2 совпадают