Методы решения тригонометрических уравнений

Чтобы решить тригонометрическое уравнение, необходимо: преобразовать уравнение до простейшего вида и  затем решить полученное простейшее тригонометрическое уравнение. 

Привести уравнение к простейшему виду можно несколькими способами.

Метод замены переменной (или алгебраический метод)

Алгоритм: 

• Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.
• Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).
• Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.
• Сделать обратную замену.
• Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Пример: Решить уравнение  2cos2x+5sinx=5

2(1-sin2x)+5sinx=5

2sin2x+5sinx+3=0

Делаем замену sin2x=t, тогда 

2t2+5t+3=0

t1=1

t2=32

Делаем обратную замену. Поскольку -1sinx1, то корень t2=32 не подходит. Следовательно осталось решить sinx=1. 

x=2+2n, nZ. Это и будет ответом.

Разложение на множители

Очень хорошо, если уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

Алгоритм: 

• Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.
• Вынести за скобки общий множитель (разложить на множители)
• Решить итоговое уравнение.

Пример: Решить уравнение  sin3x+sin7x=2sin5x

Применим формулу суммы синусов 2sin5xcos2x=2sin5x

2sin5xcos2x-2sin5x=0

2sin5x(cos2x-1)=0

Имеем совокупность из двух уравнений, которые решим по отдельности:

2sin5x=0      x=n5, nZ

cos2x-1=0  x=n, nZ

Заметим, что x=n является частью x=n5, если рассматривать тригонометрическую окружность. Тогда ответ будет x=n5, nZ .

Однородные уравнения 

Рассмотрим уравнение: sin2x+2sinxcosx-3cos2=0.

Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене a2+2ab-3b2степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей).

Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на . Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Запомни: Предположим, что cosx=0. Тогда в силу уравнения и sinx=0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cosx0, и мы можем поделить обе его части на cos2x.

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:

tg2x+2tgx-3=0