Фигуры

Треугольник

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла.

Треугольник может быть:

• Прямоугольный. Один угол прямой (90 градусов), два других менее 90 градусов.
• Остроугольный. Градус угла больше 0, но меньше 90 градусов.
• Тупоугольный. Один угол тупой (больше 90 градусов), два других острые.

Свойства треугольника:

• В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
• Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
• Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами (зависит от начальных данных)

Если известна сторона и высота.
S = 1/2 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию. Высота может быть расположена по-разному. Это зависит от типа треугольника.

Если известны две стороны и синус угла.
S = 1/2 × a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

Если есть радиус описанной окружности.
S = (a × b × с) / 4R, где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

Если есть радиус вписанной окружности.
S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Периметр треугольника — это сумма длин трех его сторон.

P = a + b + c, где a, b, c — длины сторон.

Параллелограмм

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны и углы равны.
• Сумма любых двух соседних углов равна 180 градусам.
• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
• Каждая диагональ* делит фигуру на два равных треугольника.

Площадь можно найти разными способами:

S = a × h, где a — сторона, h — высота.

S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

S = 1/2 × (d1 × d2) × sinα, где α — угол между диагоналями.

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

Ромб

Ромб — это параллелограмм с равными сторонами. Свойства, как и формулы площадей, ромба и параллелограмма похожи или совпадают.

Как узнать площадь ромба? 

S = a × h, где a — сторона, h — высота.

S = 1/2 × (d1 × d2), где d1,d2 — две диагонали.

S = a × a × sinα или S = a2 × sinα, где a — длина стороны, sinα — синус угла между двумя сторонами. 

Периметр ромба — это произведение длины стороны на четыре.

P = 4 a, где a — длина стороны.

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.

Свойства прямоугольника:

• Диагонали прямоугольника равны и делятся в точке пересечения пополам.
• Около прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали.

Вычислить площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

 S = a × b, где a, b — ширина и высота прямоугольника.


S = 0,5 × d2 × 𝑠𝑖𝑛𝑎, где d — диагональ.

Периметр прямоугольника — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

Квадрат

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

• Все стороны равны.
• Все углы равны и составляют 90 градусов.
• Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.
• У квадрата центры вписанной и описанной окружности совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Найти площадь квадрата можно:

 S = а2, где a — сторона квадрата.


S = d2 / 2, где d — диагональ.


Периметр квадрата — это длина стороны, умноженная на четыре.

P = 4a, где a — длина стороны.

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две не параллельны.

Трапеция может быть:

• Прямоугольная (прямые углы при боковой стороне)
• Равнобедренная (боковые стороны равны)
• Произвольная

Свойства:

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.
• Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Площадь трапеции:

S = ½ × (a + b) × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

Формула периметра для равнобедренной трапеции отличается от прямоугольника тем, что у равнобедренной трапеции есть две равные стороны.

P = a + b + 2 × c, где a, b — параллельные стороны, c — две длины одинаковых сторон.