В задачах по кинематике знак минус показывает направление, а площадь под графиком скорости помогает найти перемещение. Если перепутать проекцию скорости с модулем или перемещение с путём, даже верная формула даст ответ на другой вопрос. Разберём прямолинейное равномерное и равноускоренное движение: понятия, формулы, графики и примеры расчётов. Материал пригодится для подготовки к ЕГЭ 2027 по физике. В проекте спецификации эти виды движения входят в задание 1, а формулы кинематики используются и в других задачах по механике.
Кинематика описывает, как меняются положение и скорость тела с течением времени. Причины изменения скорости рассматривают в динамике. Для решения задач по кинематике сначала выбирают систему отсчёта и определяют, какое движение описано в условии.
Система отсчёта включает тело отсчёта, связанную с ним систему координат и часы. Например, опишем движение автомобиля относительно дороги: направим ось x вдоль прямого участка и выберем начало координат. Тогда положение автомобиля задаётся координатой x.
Материальная точка — модель тела, размерами которого пренебрегают в условиях задачи. Например, при расчёте времени поездки между городами примем автомобиль за точку. Чтобы определить момент полного выезда из гаража, потребуется длина автомобиля.
Траектория — линия, вдоль которой движется материальная точка. Путь L — длина пройденного участка траектории. Значение L неотрицательно.
Перемещение — вектор, направленный из начального положения тела в конечное. При движении вдоль оси x проекция перемещения равна:
Sx = x − x0.
Здесь x0 — начальная координата, x — конечная. Проекция Sx положительна при смещении вдоль оси и отрицательна при смещении против оси. Координата показывает положение относительно начала отсчёта, а перемещение — изменение этого положения.
Например, человек прошёл 30 м вправо, затем 10 м влево. Направим ось x вправо. Путь равен 30 + 10 = 40 м, а проекция перемещения — 30 − 10 = 20 м. Если человек вернётся в исходную точку, перемещение станет нулевым, хотя пройденный путь останется положительным.
При прямолинейном движении без разворотов L = |Sx|. После разворота путь считают по участкам, складывая пройденные расстояния.
При равномерном прямолинейном движении тело за равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Вектор скорости сохраняет модуль и направление, ускорение равно нулю.
Условие «скорость постоянна по модулю» само по себе не означает прямолинейное движение. Например, при равномерном движении по окружности направление скорости меняется. Формулы этого раздела относятся к движению вдоль прямой с постоянной скоростью.
Будем считать, что отсчёт времени начинается при t = 0. Тогда t — время, прошедшее с начала наблюдения:
Скорость измеряют в м/с, время — в секундах, координату и путь — в метрах. Знак vx задаёт направление движения: при vx > 0 координата растёт, при vx < 0 — уменьшается. Модуль скорости |vx| неотрицателен.
Условие. Тело движется равномерно. Начальная координата x0 = 12 м, проекция скорости равна −3 м/с. Найдите координату, проекцию перемещения и путь через 5 с.
Подставим значения в формулы:
x = 12 + (−3) · 5 = −3 м.
Sx = (−3) · 5 = −15 м.
L = 3 · 5 = 15 м.
Ответ: координата −3 м, проекция перемещения −15 м, путь 15 м. Тело пересекло начало координат и продолжило движение по отрицательной полуоси.
При прямолинейном равноускоренном движении вектор ускорения постоянен. За равные промежутки времени проекция скорости изменяется на одинаковую величину.
ax = (vx − v0x) / t.
Здесь v0x — начальная проекция скорости, vx — проекция через время t > 0. Ускорение измеряют в м/с2. Например, ax = 2 м/с2 означает, что проекция скорости за каждую секунду увеличивается на 2 м/с.
Чтобы определить, разгоняется тело или замедляется, сравните направления скорости и ускорения в рассматриваемый момент. Одинаковые знаки проекций означают рост модуля скорости, противоположные — уменьшение.
| Проекция скорости | Проекция ускорения | Что происходит |
|---|---|---|
| vx > 0 | ax > 0 | Тело движется вдоль оси и разгоняется. |
| vx > 0 | ax < 0 | Тело движется вдоль оси и замедляется. |
| vx < 0 | ax > 0 | Тело движется против оси и замедляется. |
| vx < 0 | ax < 0 | Тело движется против оси и разгоняется. |
По отрицательной проекции ускорения нельзя однозначно судить о торможении. Если vx = −4 м/с и ax = −2 м/с2, через секунду vx = −6 м/с. Модуль скорости вырос с 4 до 6 м/с.
Следующие формулы действуют на участке с постоянным ускорением. Начальные значения относятся к моменту t = 0:
Если тело начинает движение из состояния покоя, v0x = 0. Формулы сокращаются до vx = axt и Sx = axt2 / 2. При ненулевой начальной скорости слагаемое v0xt сохраняется.
Выбирайте формулу по условию задачи. Когда известны ускорение и обе скорости, а время не дано, используйте связь vx2 − v0x2 = 2axSx. Для поиска координаты сначала учтите начальное положение x0.
Пусть движение описано уравнением x = 5 + 4t − t2, где координата выражена в метрах, а время — в секундах. Сравним с формулой x = x0 + v0xt + axt2 / 2:
x0 = 5 м; v0x = 4 м/с; ax / 2 = −1 м/с2.
Следовательно, ax = −2 м/с2. Коэффициент при t2 равен половине проекции ускорения. Записать ax = −1 м/с2 в таком примере было бы ошибкой.
Перед расчётом прочитайте подписи осей. Наклон графика x(t) показывает проекцию скорости, а наклон графика vx(t) — проекцию ускорения. Поэтому расчёт начинаем с определения зависимости, которую изображает график.
При равномерном движении график координаты — прямая. Для двух точек на этой прямой:
vx = (x2 − x1) / (t2 − t1).
Растущий график означает движение вдоль оси, убывающий — против оси. Горизонтальный участок соответствует покою. Например, при изменении координаты с 2 до 14 м за 4 с проекция скорости равна (14 − 2) / 4 = 3 м/с.
При постоянном ненулевом ускорении x(t) — парабола. Если ax > 0, ветви направлены вверх; если ax < 0 — вниз. Начальная координата задаёт значение графика при t = 0, а проекция начальной скорости — наклон касательной в этой точке.
Проекцию мгновенной скорости определяют по наклону касательной к x(t). Выберите на касательной две точки и разделите разность координат на разность времён. Используйте значения по шкалам: угол линии на рисунке зависит от масштаба осей. Подстановка координат двух точек кривой даст среднюю проекцию скорости за промежуток.
При равномерном движении график vx(t) горизонтален. При постоянном ненулевом ускорении это наклонная прямая. Проекция ускорения равна:
ax = (vx2 − vx1) / (t2 − t1).
Участок выше оси времени соответствует положительной проекции скорости, ниже — отрицательной. Если график пересекает ось времени и знак vx меняется, тело разворачивается.
Проекцию перемещения находят по площади между графиком скорости и осью времени, учитывая знак. Площади выше оси берут со знаком плюс, ниже — со знаком минус. Для пути складывают площади без вычитания.
При равноускоренном движении график ax(t) — горизонтальная прямая. При равномерном движении ax = 0, поэтому график совпадает с осью времени. Площадь с учётом знака под графиком ускорения даёт изменение проекции скорости, а не перемещение.
В задании 1 проекта демоверсии ЕГЭ 2027 по физике требуется определить проекцию ускорения между 2-й и 4-й секундами. На этом участке график скорости — прямая. Считаем с графика значения на границах промежутка:
Подставляем в формулу:
ax = (−4 − 6) / (4 − 2) = −10 / 2 = −5 м/с2.
Ответ: −5 м/с2. В бланк записывают число −5. Знак сохраняем: в вопросе требуется проекция ускорения. Если бы спрашивали модуль ускорения, ответом было бы 5 м/с2.
В знаменателе стоит длительность выбранного участка — 2 с. Делить изменение скорости на 4 с нельзя: это время, отсчитанное от начала наблюдения, а не продолжительность участка.
Условие. Тело движется вдоль оси x с начальной скоростью 6 м/с. Начальная координата равна нулю, постоянная проекция ускорения — −2 м/с2. Найдите путь и проекцию перемещения за первые 5 с.
Запишем зависимость проекции скорости от времени:
vx = 6 − 2t.
В момент остановки vx = 0, поэтому 6 − 2t = 0 и t = 3 с. После третьей секунды проекция скорости становится отрицательной: тело движется обратно. Значит, для расчёта пути разделим движение на два участка.
Формула с постоянным ускорением действует на всём промежутке, в том числе после разворота:
Sx = 6 · 5 + (−2) · 52 / 2 = 30 − 25 = 5 м.
Конечная координата тоже равна 5 м, поскольку x0 = 0.
За первые 3 с тело проходит:
L1 = 6 · 3 − 2 · 32 / 2 = 9 м.
За следующие 2 с тело движется обратно из состояния покоя. Расстояние на этом участке:
L2 = 2 · 22 / 2 = 4 м.
Складываем расстояния: L = 9 + 4 = 13 м.
Ответ: путь 13 м, проекция перемещения 5 м. На графике vx(t) этому соответствуют два треугольника: площадь над осью равна 9 м, под осью — 4 м. Для перемещения вычитаем 4 из 9, для пути складываем.
В этом примере средняя путевая скорость равна L / t = 13 / 5 = 2,6 м/с. Средняя проекция скорости равна Sx / t = 5 / 5 = 1 м/с. Эти величины различаются из-за смены направления движения.
Условие. Автомобиль движется со скоростью 72 км/ч и начинает равнозамедленное торможение. Модуль ускорения равен 4 м/с2. Найдите путь до остановки.
Переведём скорость в СИ: 72 км/ч = 72 / 3,6 = 20 м/с. Направим ось x по начальной скорости. Тогда v0x = 20 м/с, vx = 0, ax = −4 м/с2.
До остановки автомобиль не меняет направление, поэтому L = Sx. Используем формулу без времени:
02 − 202 = 2 · (−4) · Sx.
Sx = (−400) / (−8) = 50 м.
Ответ: 50 м. Это путь с начала торможения. Расстояние, пройденное за время реакции водителя до нажатия на тормоз, в условии не учитывается.
Проверяйте не только вычисления, но и смысл результата. Отрицательная проекция допустима, отрицательный путь — нет. Перед записью ответа сверьтесь с вопросом задачи.
Начните с задач на координату и перемещение при постоянной скорости. Затем добавьте ускорение и научитесь выбирать формулу по известным величинам. После расчёта объясняйте знак ответа через направление оси.
Отдельно тренируйте чтение графиков: находите скорость по x(t), ускорение и перемещение по vx(t). В задачах с разворотом проверяйте результат двумя способами — по формулам и по площадям. Сравнение ответов помогает обнаружить потерянный знак или неверно выбранный промежуток времени.
Равномерное и равноускоренное прямолинейное движение — основа для следующих тем кинематики. После этой статьи переходите к свободному падению, движению тела под углом к горизонту и движению по окружности.
Продолжить занятия можно на курсе подготовки к ЕГЭ 2027 по физике в Вебиуме со Снежаной Планк. В курс входят онлайн-занятия, видеоуроки, домашние задания и пробники; в подготовке помогает наставник. Закрепляйте формулы в домашних заданиях, а на пробниках проверяйте, удаётся ли самостоятельно выбрать способ решения и уложиться в отведённое время. Посмотрите программу курса и запланируйте повторение тем, в которых пока возникают ошибки.
Авторизуйтесь, чтобы оставить комментарий.