ЕГЭ 2027: профильная математика — теория чисел и делимость в задании 20

В задачах на делимость ответ требует доказательства: найденные числа должны удовлетворять каждому условию. Признаки делимости, НОД и НОК помогают ограничить перебор и объяснить выбор. Разберём эти инструменты на примерах: посчитаем делители числа 504, найдём два числа с суммой 17 и определим двузначные числа по сумме цифр.

Материал подойдёт для подготовки к ЕГЭ 2027 по профильной математике. Примеры ниже — учебные задачи по теории чисел для отработки приёмов решения задания 20.

Задание ЕГЭ 2027 на целые числа: требования к решению

В проекте демоверсии ЕГЭ 2027 задача на свойства целых чисел стоит под номером 20. Задание состоит из трёх пунктов и оценивается максимум в 4 первичных балла. Для полного решения нужны верные ответы с обоснованиями.

Выбирайте способ доказательства по вопросу задачи. Чтобы подтвердить возможность ситуации, приведите пример и проверьте условия. Доказательство невозможности должно охватывать все допустимые случаи. При поиске максимума или минимума обоснуйте границу и приведите пример, на котором эта граница достигается.

Для таких рассуждений сначала разберём определение делимости и ограничения на числа.

Что значит «число делится нацело»

Пусть a и b — целые числа, причём b ≠ 0. Число a делится на b нацело, если a = b · k при некотором целом k. Тогда b называют делителем числа a, а a — кратным числа b.

Например, 18 делится на 6, потому что 18 = 6 · 3. Число 19 на 6 нацело не делится: при делении получается остаток 1.

В условии задачи проверяйте, какие числа разрешено использовать:

• Натуральные числа: 1, 2, 3, 4 и далее.
• Целые числа: натуральные, отрицательные −1, −2, −3 и далее, а также ноль.
• Рациональные числа: дроби p / q, где p и q — целые, а q ≠ 0.

Если в задаче требуется натуральное число, дробный или отрицательный корень уравнения не подойдёт.

Простые числа и разложение на множители

Простое число — натуральное число, у которого ровно два положительных делителя: 1 и само число. Например, 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Двойка — единственное чётное простое число.

У составного числа больше двух положительных делителей. Например, 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.

Каждое натуральное число больше 1 раскладывается на простые множители единственным способом, если не учитывать перестановку сомножителей.

Пример: разложение числа 1500

Сначала дважды делим на 2, затем на 3:

1500 = 2 · 750 = 2 · 2 · 375 = 2 · 2 · 3 · 125.

Поскольку 125 = 5 · 5 · 5, получаем:

1500 = 2² · 3 · 5³.

Получили каноническое разложение, объединив повторяющиеся сомножители в степени. Такая запись пригодится для поиска делителей, НОД и НОК.

Как найти количество делителей числа

Чтобы посчитать положительные делители, прибавьте к каждому показателю степени в каноническом разложении единицу и перемножьте результаты. Например, для числа n = p^a · q^b, где p и q — различные простые числа, количество делителей равно (a + 1)(b + 1). При добавлении нового основания в разложение в формуле появляется ещё одна скобка.

Пример: сколько натуральных делителей у числа 504

Разложим число:

504 = 8 · 63 = 2³ · 3² · 7.

Положительные делители числа 504 записываются в виде 2^α · 3^β · 7^γ. Показатель α принимает четыре значения: 0, 1, 2, 3. Показатель β — три: 0, 1, 2. Показатель γ — два: 0 и 1. Каждому сочетанию соответствует отдельный делитель, поэтому получаем:

(3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 4 · 3 · 2 = 24.

Ответ: 24 делителя. В этот результат входят и 1, и 504. Не путайте количество делителей с количеством оснований в каноническом разложении: у числа 504 оснований три — 2, 3 и 7.

НОД и НОК: правила и примеры

Наибольший общий делитель, или НОД, — наибольшее натуральное число, на которое делятся оба числа. Наименьшее общее кратное, или НОК, — наименьшее положительное число, которое делится на каждое из них.

Чтобы найти НОД по разложениям, возьмите общие простые множители с меньшими показателями степеней. Для НОК возьмите все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном разложении, с большими показателями.

Пример: НОД и НОК чисел 105 и 165

105 = 3 · 5 · 7.

165 = 3 · 5 · 11.

Общие множители — 3 и 5. Значит, НОД(105, 165) = 3 · 5 = 15.

Для НОК нужны множители 3, 5, 7 и 11. Получаем НОК(105, 165) = 3 · 5 · 7 · 11 = 1155.

Проверим результат по формуле для двух натуральных чисел:

НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b.

В нашем примере 15 · 1155 = 105 · 165 = 17 325.

Что такое взаимно простые числа

Два натуральных числа называют взаимно простыми, если НОД равен 1. Например, 29 — простое число, а 63 = 3² · 7. Пересечений между наборами простых делителей нет, поэтому НОД(29, 63) = 1, а НОК(29, 63) = 29 · 63 = 1827.

Составные числа тоже бывают взаимно простыми. Например, НОД(8, 9) = 1. Когда НОД равен единице, формула связи НОД и НОК упрощается: НОК(a, b) = a · b.

Свойства делимости для решения задач

Если два целых числа делятся на одно и то же ненулевое число, их сумма и разность тоже на него делятся. Например:

15 + 65 = 5 · 3 + 5 · 13 = 5 · 16.

65 − 15 = 5 · 13 − 5 · 3 = 5 · 10.

В обоих случаях выносим 5 за скобки. По той же причине, если a делится на c, произведение a · b делится на c при любом целом b. Например, 18 · 17 = 9 · 2 · 17 = 9 · 34.

Из делимости произведения a · b на c не следует делимость a или b на c. Например, 2 · 3 делится на 6, хотя ни 2, ни 3 на 6 не делятся.

Как найти ближайшее подходящее кратное

Найдём наименьшее трёхзначное число, которое больше 325 и делится на 4. Поскольку 325 = 4 · 81 + 1, следующее кратное получим прибавлением 3:

325 + 3 = 328 = 4 · 82.

Ответ: 328. Предыдущее кратное, 324, меньше 325. Между соседними кратными числа 4 других кратных нет, поэтому найденное число — наименьшее подходящее.

Признаки делимости: таблица для подготовки к ЕГЭ 2027

Проверяйте делимость по последним цифрам или по сумме цифр. Например, для делимости на 3 вычислять частное не потребуется: достаточно сложить цифры и проверить полученную сумму.

Ноль делится на любое ненулевое целое число. Поэтому окончания 00 и 000 подходят для проверки делимости на 4 и 8 соответственно. Для признака делимости на 11 подходит и нулевая разность сумм.

Объединять признаки делимости через произведение можно для взаимно простых делителей. Числа 3 и 4 взаимно простые, поэтому делимость на каждое из них равносильна делимости на 12. Но делимости на 4 и 6 недостаточно, чтобы доказать делимость на 24: число 12 делится на 4 и 6, а на 24 — нет.

Разбор задания ЕГЭ 2027: учебная задача на НОД и НОК

Условие. Сумма двух натуральных чисел равна 17, а НОК в 70 раз больше НОД. Найдите эти числа.

Шаг 1. Найдём НОД

Обозначим числа через a и b, а НОД(a, b) — через d. Тогда a + b = 17. Поскольку оба слагаемых делятся на d, сумма тоже делится на d. У числа 17 два положительных делителя, поэтому d равен 1 или 17.

Второй вариант невозможен. Если оба натуральных числа делятся на 17, каждое не меньше 17, а сумма не меньше 34. Значит, d = 1: искомые числа взаимно простые.

Шаг 2. Найдём произведение чисел

По условию НОК(a, b) = 70 · d = 70. Для взаимно простых чисел НОК равен произведению, поэтому a · b = 70.

Ищем натуральные числа с суммой 17 и произведением 70. Перечислим пары положительных делителей числа 70:

• 1 и 70: сумма 71.
• 2 и 35: сумма 37.
• 5 и 14: сумма 19.
• 7 и 10: сумма 17.

Подходит только последняя пара. Перебор полный: в каждой паре меньший множитель не превосходит √70, а делители 70 в этих пределах — 1, 2, 5 и 7.

Шаг 3. Проверим ответ

Полученные числа удовлетворяют обоим условиям: 7 + 10 = 17, НОД(7, 10) = 1, НОК(7, 10) = 70. Отношение НОК к НОД равно 70.

Ответ: 7 и 10. Здесь поиск пары стал возможен после доказательства, что числа взаимно простые. Без этого шага подменять НОК произведением было бы нельзя.

Задачи на цифры числа: как составить уравнение

В задачах на цифры используйте запись числа через разряды. Двузначное число с цифрой десятков a и цифрой единиц b равно 10a + b. Трёхзначное число с цифрами a, b, c записывается как 100a + 10b + c.

Первая цифра многозначного числа не равна нулю. На остальных местах допускается любая из десяти цифр, включая ноль.

Пример: число в четыре раза больше суммы цифр

Условие. Найдите хотя бы одно двузначное число, которое в четыре раза больше суммы цифр этого числа.

Обозначим цифру десятков через a, единиц — через b. Тогда 1 ≤ a ≤ 9 и 0 ≤ b ≤ 9. Переведём условие в уравнение:

10a + b = 4(a + b).

Раскрываем скобки и собираем слагаемые:

10a + b = 4a + 4b; 6a = 3b; b = 2a.

Поскольку b ≤ 9, получаем a ≤ 4,5. Цифра a — натуральное число, поэтому возможны четыре значения: 1, 2, 3 и 4. Подставляя каждое в равенство b = 2a, получаем числа 12, 24, 36 и 48.

Условие просит хотя бы один пример. Укажем 12 и проверим: 12 = 4 · (1 + 2). Для вопроса «Найдите все подходящие числа» потребуется перечислить четыре результата и обосновать полноту списка.

Ответ: например, 12. Все подходящие числа: 12, 24, 36, 48.

Ошибки в задачах на делимость

При проверке решения следите за тем, чтобы каждое действие сохраняло ограничения из условия. Ошибки часто связаны с такими переходами:

• НОК заменяют произведением без проверки НОД. Например, НОК(6, 8) = 24, хотя 6 · 8 = 48. Равенство работает только для взаимно простых чисел.
• Считают единицу простым числом. У единицы один положительный делитель вместо требуемых двух.
• Путают число с произведением цифр. Двузначное число с цифрами a и b — это 10a + b, а не a · b.
• Забывают о границах для цифр. Например, значение b = 12 не подходит для цифры единиц.
• Считают неудачный перебор доказательством невозможности. Проверка отдельных вариантов не исключает решения среди оставшихся.

Подготовка к ЕГЭ 2027 по профильной математике: как отрабатывать делимость

Сначала потренируйтесь раскладывать числа на простые множители, находить НОД, НОК и количество делителей. Затем составляйте уравнения по условиям о сумме, произведении или цифрах числа.

После решения объясняйте каждый переход: почему общий делитель делит сумму, почему НОК равен произведению, почему перебор охватывает все случаи. Такие пояснения показывают, где вы опираетесь на свойство, а где пока только угадываете ответ. В заданиях на максимум и минимум отдельно проверяйте две части доказательства: найденную границу и пример её достижения.

Подготовка к ЕГЭ 2027 по профильной математике в Вебиуме

Продолжить занятия можно на курсе подготовки к ЕГЭ 2027 по профильной математике в Вебиуме с Эйджеем Гауссом. В программу входят онлайн-занятия, видеоуроки, домашние задания и пробники; в подготовке помогает наставник. Используйте домашние задания, чтобы закреплять приёмы после разбора, а пробники — чтобы проверять, удаётся ли выбрать способ решения самостоятельно. Посмотрите программу курса и выберите темы для повторения перед экзаменом.